Loi binomiale
Dénombrement, loi et schéma de Bernoulli, loi binomiale.
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Capacités exigibles — Programme officiel (BO)
- Modéliser une situation par une succession d'épreuves indépendantes, ou une succession de deux ou trois épreuves quelconques ; représenter la situation par un arbre ; calculer une probabilité en utilisant l'indépendance, des probabilités conditionnelles, la formule des probabilités totales.
- Modéliser une situation par un schéma de Bernoulli, par une loi binomiale.
- Utiliser l'expression de la loi binomiale pour résoudre un problème de seuil, de comparaison, d'optimisation relatif à des probabilités de nombre de succès.
- Dans le cadre d'une résolution de problème modélisé par une variable binomiale \(X\), calculer numériquement \(P(X = k)\), \(P(X \leq k)\), \(P(k \leq X \leq k')\) ; chercher un intervalle \(I\) pour lequel \(P(X \in I)\) est inférieure à une valeur donnée \(\alpha\), ou supérieure à \(1 - \alpha\).
Démonstrations exigibles — Programme officiel (BO)
- Expression de la probabilité de \(k\) succès dans le schéma de Bernoulli.
Exemples d'algorithme — Programme officiel (BO)
- Simulation de la planche de Galton.
- Problème de la surréservation : détermination du plus petit entier \(k\) tel que \(P(X > k) \leq \alpha\), pour \(X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)\) et \(\alpha > 0\) donné.
- Simulation d'un échantillon d'une variable aléatoire.
1. Introduction
Combien de codes PIN différents peut-on former avec 4 chiffres ? Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 3 fois « Pile » en lançant une pièce 10 fois ? Ces questions sont au cœur de ce chapitre.
Nous allons d'abord maîtriser les principes de dénombrement (compter des issues sans les lister une à une), puis construire la loi binomiale, outil fondamental pour modéliser les expériences répétées indépendantes.
2. Cours
A — Dénombrement
Si une expérience peut se dérouler de \(n_1\) façons OU de \(n_2\) façons (situations mutuellement exclusives), elle peut se dérouler de \(n_1 + n_2\) façons au total.
Si une expérience se déroule en \(k\) étapes avec \(n_1\) choix à la première étape, \(n_2\) à la seconde, …, \(n_k\) à la dernière (choix indépendants), alors le nombre total d'issues possibles est : \[ n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k \]
B — Successions d'épreuves indépendantes
Si on répète \(n\) fois la même épreuve (avec remise ou dans des conditions identiques) et que chaque épreuve a \(N\) issues, alors le nombre total d'issues de l'expérience composée est \(N^n\).
Si \(A\) et \(B\) sont deux événements indépendants : \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]
C — Loi et schéma de Bernoulli
- Succès (probabilité \(p\), avec \(0 < p < 1\))
- Échec (probabilité \(1 - p = q\))
On réalise \(n\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune de probabilité de succès \(p\). On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus. Alors \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), notée \(\mathcal{B}(n,p)\).
Pour tout \(k \in \{0, 1, \ldots, n\}\) : \[ \boxed{P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}} \] où \(\displaystyle\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) est le coefficient binomial (nombre de façons de choisir \(k\) succès parmi \(n\) épreuves).
Pour obtenir exactement \(k\) succès en \(n\) épreuves, il faut choisir quelles \(k\) épreuves sont des succès : il y a \(\binom{n}{k}\) façons de le faire. Chaque tel scénario a la probabilité \(p^k(1-p)^{n-k}\). On somme toutes ces probabilités égales d'où le facteur \(\binom{n}{k}\).
3. Exemples guidés
Situation : Un code de 4 chiffres (chiffres de 0 à 9). Combien de codes possibles ?
Étape 1 : Chaque position peut prendre 10 valeurs (0 à 9), indépendamment des autres.
Étape 2 : Principe multiplicatif sur 4 étapes : \[ 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10\,000 \text{ codes} \]
Variante : Si les 4 chiffres sont tous distincts : \[ 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5\,040 \text{ codes} \] (à chaque étape, on a un chiffre de moins à disposition).
On lance une pièce équilibrée. Succès = « Pile ». On a \(p = \dfrac{1}{2}\).
La variable de Bernoulli \(X\) vérifie : \[ E(X) = p = \frac{1}{2} \] \[ V(X) = p(1-p) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]
Situation : On lance un dé équilibré 5 fois. Succès = « obtenir un 6 ».
Paramètres : \(n = 5\), \(p = \dfrac{1}{6}\), \(X \sim \mathcal{B}\!\left(5;\dfrac{1}{6}\right)\).
Calcul de \(P(X = 2)\) : \[ P(X=2) = \binom{5}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^3 = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776} \approx 0{,}161 \]
\[ P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1) \]
\[ P(X=0) = \binom{4}{0}(0{,}3)^0(0{,}7)^4 = 1 \times 1 \times 0{,}2401 = 0{,}2401 \] \[ P(X=1) = \binom{4}{1}(0{,}3)^1(0{,}7)^3 = 4 \times 0{,}3 \times 0{,}343 = 0{,}4116 \] \[ P(X \leq 1) = 0{,}2401 + 0{,}4116 = 0{,}6517 \]
\[ E(X) = np = 20 \times 0{,}4 = 8 \]
\[ V(X) = np(1-p) = 20 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 4{,}8 \]
\[ \sigma(X) = \sqrt{4{,}8} \approx 2{,}19 \]
Interprétation : en moyenne, 8 succès sur 20, avec un écart-type d'environ 2,19.
4. Exercices progressifs
Un restaurant propose 3 entrées, 4 plats et 2 desserts. Combien de menus différents « entrée + plat + dessert » peut-on composer ?
Le choix d'un menu se fait en 3 étapes indépendantes :
- 3 choix pour l'entrée
- 4 choix pour le plat
- 2 choix pour le dessert
Par le principe multiplicatif :
\[ 3 \times 4 \times 2 = 24 \text{ menus possibles} \]Soit \(X \sim \mathcal{B}(3\,;\,0{,}5)\). Dresser le tableau de la loi de probabilité de \(X\), puis calculer \(E(X)\) et \(V(X)\).
On calcule \(P(X=k)\) pour \(k \in \{0,1,2,3\}\) avec \(p = 0{,}5\) :
\[ P(X=0) = \binom{3}{0}(0{,}5)^0(0{,}5)^3 = \frac{1}{8} \] \[ P(X=1) = \binom{3}{1}(0{,}5)^1(0{,}5)^2 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \] \[ P(X=2) = \binom{3}{2}(0{,}5)^2(0{,}5)^1 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \] \[ P(X=3) = \binom{3}{3}(0{,}5)^3 = \frac{1}{8} \]Tableau :
| \(k\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(P(X=k)\) | \(\tfrac{1}{8}\) | \(\tfrac{3}{8}\) | \(\tfrac{3}{8}\) | \(\tfrac{1}{8}\) |
Vérification : \(\dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{8} = 1\) ✓
\[ E(X) = np = 3 \times 0{,}5 = 1{,}5 \] \[ V(X) = np(1-p) = 3 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}75 \]Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules noires. On tire successivement 4 boules avec remise. On note \(X\) le nombre de boules rouges obtenues.
- Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
- Calculer \(P(X \geq 2)\).
1. Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli : succès = « boule rouge », probabilité \(p = \dfrac{3}{10} = 0{,}3\). Les tirages sont indépendants (remise). On répète \(n = 4\) fois. Donc \(X \sim \mathcal{B}(4\,;\,0{,}3)\).
2. Par complémentarité : \[ P(X \geq 2) = 1 - P(X \leq 1) = 1 - P(X=0) - P(X=1) \] \[ P(X=0) = (0{,}7)^4 = 0{,}2401 \] \[ P(X=1) = \binom{4}{1}(0{,}3)(0{,}7)^3 = 4 \times 0{,}3 \times 0{,}343 = 0{,}4116 \] \[ P(X \geq 2) = 1 - 0{,}2401 - 0{,}4116 = 0{,}3483 \]
Il y a environ 34,8 % de chances d'obtenir au moins 2 boules rouges.
Dans une chaîne de production, 10 % des pièces sont défectueuses. On prélève un lot de 15 pièces au hasard. On note \(X\) le nombre de pièces défectueuses dans ce lot.
- Calculer \(P(X = 0)\) (aucune pièce défectueuse).
- Calculer \(P(X \leq 2)\).
- Calculer \(E(X)\).
\(X \sim \mathcal{B}(15\,;\,0{,}1)\).
1. \[ P(X=0) = (0{,}9)^{15} \approx 0{,}2059 \]
2. \[ P(X=1) = \binom{15}{1}(0{,}1)^1(0{,}9)^{14} = 15 \times 0{,}1 \times (0{,}9)^{14} \approx 15 \times 0{,}1 \times 0{,}2288 \approx 0{,}3432 \] \[ P(X=2) = \binom{15}{2}(0{,}1)^2(0{,}9)^{13} = 105 \times 0{,}01 \times (0{,}9)^{13} \approx 105 \times 0{,}01 \times 0{,}2542 \approx 0{,}2669 \] \[ P(X \leq 2) \approx 0{,}2059 + 0{,}3432 + 0{,}2669 = 0{,}8160 \]
3. \[ E(X) = np = 15 \times 0{,}1 = 1{,}5 \] En moyenne, 1,5 pièce défectueuse par lot de 15.
Soit \(X \sim \mathcal{B}(n\,;\,0{,}2)\). Trouver le plus petit entier \(n\) tel que \(P(X \geq 1) \geq 0{,}9\).
Par complémentarité : \[ P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (0{,}8)^n \]
On cherche \(n\) tel que : \[ 1 - (0{,}8)^n \geq 0{,}9 \Leftrightarrow (0{,}8)^n \leq 0{,}1 \]
On prend le logarithme (attention : \(\ln(0{,}8) < 0\), l'inégalité change de sens) : \[ n \ln(0{,}8) \leq \ln(0{,}1) \Rightarrow n \geq \frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}8)} \approx \frac{-2{,}3026}{-0{,}2231} \approx 10{,}32 \]
Donc le plus petit entier \(n\) est \(\boxed{n = 11}\).
Vérification : \((0{,}8)^{11} \approx 0{,}0859 \leq 0{,}1\) ✓, \((0{,}8)^{10} \approx 0{,}107 > 0{,}1\) ✗.
On joue à un jeu avec un dé équilibré : on gagne 2 € si le dé donne 6, on perd 0,50 € sinon. On réalise 10 lancers.
- Exprimer le gain total \(G\) en fonction du nombre \(X\) de 6 obtenus.
- Calculer \(E(G)\) et \(\sigma(G)\).
- Ce jeu est-il favorable au joueur ?
\(X \sim \mathcal{B}\!\left(10\,;\,\dfrac{1}{6}\right)\).
1. Si on obtient \(X\) fois le 6 et \((10-X)\) fois autre chose : \[ G = 2X - 0{,}5(10-X) = 2X - 5 + 0{,}5X = 2{,}5X - 5 \]
2. Par linéarité de l'espérance : \[ E(X) = 10 \times \frac{1}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \] \[ E(G) = 2{,}5 \times E(X) - 5 = 2{,}5 \times \frac{5}{3} - 5 = \frac{12{,}5}{3} - 5 = \frac{12{,}5 - 15}{3} = -\frac{2{,}5}{3} \approx -0{,}83 \text{ €} \]
Pour la variance (utiliser \(V(aX+b) = a^2 V(X)\)) : \[ V(X) = 10 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{50}{36} = \frac{25}{18} \] \[ V(G) = (2{,}5)^2 \times V(X) = 6{,}25 \times \frac{25}{18} = \frac{156{,}25}{18} \approx 8{,}68 \] \[ \sigma(G) = \sqrt{V(G)} \approx 2{,}95 \text{ €} \]
3. L'espérance de gain est négative (\(E(G) \approx -0{,}83\) €) : le jeu est défavorable au joueur.
📌 Fiche de synthèse
Dénombrement
- Principe additif : situations exclusives → addition des nombres d'issues.
- Principe multiplicatif : étapes indépendantes → produit des nombres de choix.
Épreuve et variable de Bernoulli
- Deux issues : succès (proba \(p\)) et échec (proba \(1-p\)).
- \(E(X) = p\), \(V(X) = p(1-p)\).
Loi binomiale \(\mathcal{B}(n,p)\)
- \(n\) épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques.
- \(X\) = nombre de succès.
- Formule : \(P(X=k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\)
- \(E(X) = np\)
- \(V(X) = np(1-p)\), \(\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}\)
Astuces de calcul
- Pour \(P(X \geq k)\) : utiliser la complémentarité \(1 - P(X \leq k-1)\).
- Vérifier que la somme de toutes les probabilités vaut 1.
- Pour trouver \(n\) : passer par le logarithme (attention au signe lors du changement d'inégalité).
📐 Démonstrations exigibles
Ces démonstrations sont exigibles au baccalauréat — Terminale Spécialité Mathématiques.
Probabilité de \(k\) succès — loi binomiale
Soit \(X \sim \mathcal{B}(n, p)\). Pour tout entier \(0 \leq k \leq n\) :
\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]On considère \(n\) épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre \(p\) (succès = 1, échec = 0).
Probabilité d'une issue fixée avec \(k\) succès : par indépendance des épreuves, une issue comportant exactement \(k\) succès aux positions \(i_1, \ldots, i_k\) a la probabilité :
\[p^k \times (1-p)^{n-k}\]Nombre d'issues favorables : le nombre de façons de placer \(k\) succès parmi \(n\) épreuves est \(\dbinom{n}{k}\).
Conclusion : ces événements élémentaires étant incompatibles :
\[P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \quad \square\]💻 Exemples d'algorithme
Algorithmes au programme de ce chapitre, à implémenter en Python.
Simulation de la planche de Galton
La planche de Galton illustre la loi binomiale : une bille tombe sur \(n\) rangées de clous, à chaque clou elle va à gauche ou à droite avec probabilité 1/2.
import random
def galton(n, nb_simulations=10000):
"""
Simule nb_simulations chutes sur une planche de Galton à n rangées.
Retourne la distribution des positions finales (0 à n).
"""
comptage = [0] * (n + 1)
for _ in range(nb_simulations):
pos = 0
for _ in range(n):
pos += random.randint(0, 1) # 0 = gauche, 1 = droite
comptage[pos] += 1
return comptage
distribution = galton(10, 10000)
print("Position | Fréquence | Histogramme")
for k, freq in enumerate(distribution):
barre = "█" * (freq // 50)
print(f" {k:2d} | {freq:5d} | {barre}")Problème de la surréservation
Trouver le plus grand nombre de réservations \(k\) tel que la probabilité de refuser un passager reste inférieure à un seuil \(\alpha\).
import math
def binomiale(n, k, p):
"""Calcule P(X = k) pour X ~ B(n, p)."""
coeff = math.comb(n, k)
return coeff * (p ** k) * ((1 - p) ** (n - k))
def proba_superieur(n, k0, p):
"""Calcule P(X > k0) pour X ~ B(n, p)."""
return sum(binomiale(n, k, p) for k in range(k0 + 1, n + 1))
def surrervation(capacite, p_presence, alpha):
"""
capacite : nombre de places réelles
p_presence: probabilité qu'un passager se présente
alpha : risque maximal de refus accepté
"""
k = capacite
while proba_superieur(k, capacite, p_presence) > alpha:
k -= 1
return k
# Avion de 200 places, p=0.95, risque max 5%
k_max = surrervation(200, 0.95, 0.05)
print(f"Nombre max de réservations : {k_max}")Simulation d'un échantillon de variable aléatoire
Simuler \(N\) réalisations d'une loi binomiale et comparer les fréquences aux probabilités théoriques.
import random, math
def simul_binomiale(n, p, N=10000):
"""Simule N réalisations de X ~ B(n, p)."""
return [sum(1 for _ in range(n) if random.random() < p) for _ in range(N)]
echantillon = simul_binomiale(20, 0.3, 10000)
# Comparaison fréquences simulées / probabilités théoriques
print(f"{'k':>3} | {'Fréq. simulée':>14} | {'P(X=k) théorique':>17}")
for k in range(0, 21):
freq = echantillon.count(k) / len(echantillon)
theo = math.comb(20, k) * (0.3**k) * (0.7**(20-k))
print(f"{k:>3} | {freq:>14.4f} | {theo:>17.4f}")