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Chapitre 12 — Analyse

Fonctions cosinus et sinus

Propriétés, dérivées, primitives, équations trigonométriques.

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📋 Sommaire

  1. Programme officiel (BO)
  2. Introduction
  3. Cours
  4. Exemples guidés
  5. Exercices progressifs
  6. Fiche de synthèse
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Capacités exigibles — Programme officiel (BO)

  • Résoudre une équation du type \(\cos(x) = a\), une inéquation de la forme \(\cos(x) \leq a\) sur \([-\pi\,;\,\pi]\).
  • Dans le cadre de la résolution de problème, notamment géométrique, étudier une fonction simple définie à partir de fonctions trigonométriques, pour déterminer des variations, un optimum.

Démonstrations exigibles — Programme officiel (BO)

Aucune démonstration exigible dans le BO pour ce chapitre.

1. Introduction

Les fonctions cosinus et sinus sont les pierres angulaires de la trigonométrie. Apparues pour décrire des phénomènes périodiques (oscillations, ondes, rotations), elles sont omniprésentes en physique, en musique, en ingénierie. En Terminale, on approfondit leur étude : dérivées, primitives, résolution d'équations, et étude de fonctions composées.

Prérequis indispensables : cercle trigonométrique, valeurs remarquables de cos et sin, radians, identité remarquable \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\).

Dans ce chapitre, on travaille toujours en radians. Le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon 1. À tout réel \(x\), on associe un point \(M\) sur ce cercle : l'abscisse de \(M\) est \(\cos(x)\), l'ordonnée est \(\sin(x)\).

2. Cours

A. Fonctions sinus et cosinus

A.1 Généralités

Définition — Cosinus et sinus

Dans un repère orthonormal, on considère le cercle trigonométrique (de centre \(O\), rayon 1). Pour un réel \(x\), on note \(M\) le point du cercle correspondant à l'angle \(x\) (mesuré en radians, dans le sens trigonométrique depuis l'axe des abscisses).

  • La fonction cosinus est définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(\cos(x) =\) abscisse de \(M\).
  • La fonction sinus est définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(\sin(x) =\) ordonnée de \(M\).

On a donc toujours \(M = (\cos(x),\, \sin(x))\) et \(-1 \leq \cos(x) \leq 1\), \(-1 \leq \sin(x) \leq 1\).

Propriété — Parité et périodicité
  • \(\cos\) est une fonction paire : \(\cos(-x)=\cos(x)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
  • \(\sin\) est une fonction impaire : \(\sin(-x)=-\sin(x)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
  • \(\cos\) et \(\sin\) sont toutes deux \(2\pi\)-périodiques : \(\cos(x+2\pi)=\cos(x)\) et \(\sin(x+2\pi)=\sin(x)\).

Conséquence : La courbe de \(\cos\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. L'étude de \(\cos\) sur \([0;\pi]\) suffit (par parité, on en déduit le reste). L'étude de \(\sin\) sur \(\left[-\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]\) permet de reconstituer une période entière.

Propriété — Résolution d'équations trigonométriques

Pour tout réel \(a\) :

\[ \cos(x) = \cos(a) \iff x = a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ \sin(x) = \sin(a) \iff x = a + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - a + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Méthode : On lit d'abord la valeur de référence \(a\) (sur \([0;\pi]\) pour cosinus, sur \(\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]\) pour sinus), puis on applique la formule pour trouver toutes les solutions.

Valeurs usuelles

À connaître absolument (à retrouver depuis le cercle trigonométrique) :

\(x\) \(0\) \(\dfrac{\pi}{6}\) \(\dfrac{\pi}{4}\) \(\dfrac{\pi}{3}\) \(\dfrac{\pi}{2}\) \(\pi\)
\(\cos(x)\) \(1\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(0\) \(-1\)
\(\sin(x)\) \(0\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(1\) \(0\)

Tableau de variations de cosinus sur \([0\,;\,\pi]\)

Puisque \(\cos\) est paire et \(2\pi\)-périodique, son étude sur \([0\,;\,\pi]\) suffit. Sur cet intervalle, \(\cos'(x)=-\sin(x)\leq 0\), donc \(\cos\) est strictement décroissante.

Tableau de variations de cos(x) sur [0;π] — style tkztab
Tableau de variations de sin(x) sur [-π/2 ; 3π/2] — style tkztab

Tableau de variations de sinus sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{3\pi}{2}\right]\)

Sur cet intervalle, \(\sin'(x)=\cos(x)\) s'annule en \(x=\dfrac{\pi}{2}\) (et change de signe) : \(\sin\) est strictement croissante sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\) et strictement décroissante sur \(\left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]\). Elle atteint son maximum \(1\) en \(x=\dfrac{\pi}{2}\) et son minimum \(-1\) aux extrémités.

Représentations graphiques

Les deux applets ci-dessous illustrent les courbes de \(\cos\) et \(\sin\) sur deux périodes. L'axe des abscisses est gradué en multiples de \(\dfrac{\pi}{2}\).

Courbe de \(y=\cos(x)\) — en bleu — sur \([-2\pi\,;\,2\pi]\)

Courbe de \(y=\sin(x)\) — en rouge — sur \([-2\pi\,;\,2\pi]\)

A.2 Dérivées

Propriété — Dérivées de cos et sin
  • La fonction \(\cos\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(\cos'(x) = -\sin(x)\).
  • La fonction \(\sin\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(\sin'(x) = \cos(x)\).

Astuce mnémotechnique : \(\cos \xrightarrow{\text{dériver}} -\sin \xrightarrow{\text{dériver}} -\cos \xrightarrow{\text{dériver}} \sin \xrightarrow{\text{dériver}} \cos\). On tourne en cycle de longueur 4, avec un signe négatif au passage par \(-\sin\) et \(-\cos\).

Propriété — Dérivées de fonctions composées

Si \(u\) est une fonction dérivable sur un intervalle \(I\), alors :

\[ \bigl(\cos(u(x))\bigr)' = -u'(x)\,\sin(u(x)) \] \[ \bigl(\sin(u(x))\bigr)' = u'(x)\,\cos(u(x)) \]

A.3 Primitives

Propriété — Primitives de cos et sin
  • Une primitive de \(\cos(x)\) est \(\sin(x)\) : \(\displaystyle\int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C\).
  • Une primitive de \(\sin(x)\) est \(-\cos(x)\) : \(\displaystyle\int \sin(x)\,dx = -\cos(x) + C\).

Pour les fonctions composées (\(a\) constante non nulle) :

\[ \int \cos(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C \qquad \int \sin(ax+b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C \]

B. Formules fondamentales

Identité pythagoricienne \[ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \quad \text{pour tout } x\in\mathbb{R} \]

On en déduit immédiatement : \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\) et \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\).

Formules de duplication (angle double) \[ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x) \] \[ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \]
Méthode — Linéarisation

Pour calculer l'intégrale de \(\cos^2(x)\) ou \(\sin^2(x)\), on linéarise d'abord :

\[ \cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}{2} \qquad \sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2} \]

Ces formules se déduisent directement de \(\cos(2x) = 2\cos^2(x)-1\) et \(\cos(2x) = 1-2\sin^2(x)\).

Compléments — Relations entre cos et sin \[ \cos\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \sin(x) \qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos(x) \] \[ \cos(\pi - x) = -\cos(x) \qquad \sin(\pi - x) = \sin(x) \] \[ \cos(\pi + x) = -\cos(x) \qquad \sin(\pi + x) = -\sin(x) \]

3. Exemples guidés

Exemple 1 — Dérivée d'une fonction composée

Calculer la dérivée de \(f(x) = \sin(3x^2 - 1)\).

On pose \(u(x) = 3x^2 - 1\), donc \(u'(x) = 6x\). La fonction est de la forme \(\sin(u)\), donc :

\[ f'(x) = u'(x)\cos(u(x)) = 6x\,\cos(3x^2-1) \]
Exemple 2 — Résolution d'une équation trigonométrique

Résoudre \(\cos(x) = \dfrac{1}{2}\) sur \([0\,;\,2\pi]\).

On cherche \(a \in [0;\pi]\) tel que \(\cos(a) = \dfrac{1}{2}\). D'après le tableau des valeurs usuelles, \(a = \dfrac{\pi}{3}\).

Donc les solutions sur \(\mathbb{R}\) sont :

\[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z} \]

Sur \([0\,;\,2\pi]\) : \(x_1 = \dfrac{\pi}{3}\) et \(x_2 = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{3}\).

Exemple 3 — Primitive d'une fonction trigonométrique

Calculer \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin(2x)\,dx\).

On utilise la primitive de \(\sin(ax)\) : une primitive de \(\sin(2x)\) est \(-\dfrac{1}{2}\cos(2x)\).

\[ \int_0^{\pi/2} \sin(2x)\,dx = \left[-\frac{1}{2}\cos(2x)\right]_0^{\pi/2} = -\frac{1}{2}\cos(\pi) - \left(-\frac{1}{2}\cos(0)\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]
Exemple 4 — Linéarisation et intégrale de \(\cos^2\)

Calculer \(\displaystyle\int_0^{\pi} \cos^2(x)\,dx\).

On linéarise : \(\cos^2(x) = \dfrac{1+\cos(2x)}{2}\).

\[ \int_0^{\pi} \cos^2(x)\,dx = \int_0^{\pi} \frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\left[x + \frac{\sin(2x)}{2}\right]_0^{\pi} = \frac{1}{2}\!\left(\pi + \frac{\sin(2\pi)}{2} - 0 - \frac{\sin 0}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \]

4. Exercices progressifs

⭐ Facile Exercice 1 — Valeurs remarquables et parité

  1. Donner les valeurs exactes de \(\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\) et \(\sin\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\) en utilisant les formules de symétrie.
  2. Justifier que \(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
  3. Calculer \(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\).

1. On écrit \(\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}\). Donc :

\[ \cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \qquad \sin\!\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

2. Cosinus est une fonction paire donc \(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

3. On écrit \(\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}\), donc : \(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}\).

⭐ Facile Exercice 2 — Dérivées

Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = \cos(5x)\)
  2. \(g(x) = \sin(x^2 + 1)\)
  3. \(h(x) = x\cos(x)\)
  4. \(k(x) = \sin^2(x)\) (rappel : \(\sin^2(x) = (\sin x)^2\))

1. \(f'(x) = -5\sin(5x)\).

2. \(g'(x) = 2x\cos(x^2+1)\).

3. Règle du produit : \(h'(x) = 1\cdot\cos(x) + x\cdot(-\sin(x)) = \cos(x) - x\sin(x)\).

4. On pose \(u = \sin(x)\), \(u' = \cos(x)\). Alors \(k(x) = u^2\), donc \(k'(x) = 2u\cdot u' = 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)\).

⭐⭐ Moyen Exercice 3 — Résolution d'équations trigonométriques

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :

  1. \(\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
  2. \(\cos(2x) = 0\)
  3. \(2\cos(x) + 1 = 0\)

1. La valeur de référence est \(a = \dfrac{\pi}{3}\) (car \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)). Donc : \[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z} \]

2. \(\cos(2x) = 0 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}\), \(k\in\mathbb{Z}\).

3. \(2\cos(x)+1=0 \Leftrightarrow \cos(x) = -\dfrac{1}{2}\). La valeur de référence est \(\dfrac{\pi}{3}\), et \(\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}\). Donc : \[ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z} \]

⭐⭐ Moyen Exercice 4 — Primitives et intégrales

Calculer les intégrales suivantes :

  1. \(\displaystyle\int_0^{\pi} \sin(x)\,dx\)
  2. \(\displaystyle\int_0^{\pi/4} \cos(2x)\,dx\)
  3. \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} \sin^2(x)\,dx\)

1. \[ \int_0^{\pi} \sin(x)\,dx = \bigl[-\cos(x)\bigr]_0^{\pi} = -\cos(\pi)+\cos(0) = 1+1 = 2 \]

2. \[ \int_0^{\pi/4} \cos(2x)\,dx = \left[\frac{\sin(2x)}{2}\right]_0^{\pi/4} = \frac{\sin(\pi/2)}{2} - \frac{\sin(0)}{2} = \frac{1}{2} \]

3. Linéarisation : \(\sin^2(x) = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}\). \[ \int_0^{\pi/2} \sin^2(x)\,dx = \int_0^{\pi/2}\frac{1-\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\left[x - \frac{\sin(2x)}{2}\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} \]

⭐⭐⭐ Difficile Exercice 5 — Étude d'une fonction trigonométrique

On considère la fonction \(f(x) = x + \sin(x)\) définie sur \(\mathbb{R}\).

  1. Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
  2. Montrer que \(f\) est une fonction impaire.
  3. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\) et préciser les extremums.

1. \(f'(x) = 1 + \cos(x)\). Or \(\cos(x) \geq -1\) pour tout \(x\), donc \(f'(x) \geq 0\). De plus \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos(x) = -1 \Leftrightarrow x = \pi + 2k\pi\) (points isolés). Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

2. \(f(-x) = -x + \sin(-x) = -x - \sin(x) = -(x+\sin(x)) = -f(x)\). Donc \(f\) est impaire.

3. Sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(f\) est strictement croissante. \[ f\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2} + \sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2} - 1 \approx -2{,}57 \] \[ f\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} + 1 \approx 2{,}57 \] \(f\) est donc croissante de \(-\dfrac{\pi}{2}-1\) à \(\dfrac{\pi}{2}+1\), sans extremum local sur cet intervalle ouvert.

⭐⭐⭐ Difficile Exercice 6 — Application des formules de duplication

  1. Exprimer \(\cos(3x)\) en fonction de \(\cos(x)\) uniquement. Indication : écrire \(3x = 2x + x\) et utiliser les formules d'addition.
  2. En déduire une équation du 3e degré en \(t = \cos(x)\) pour résoudre \(\cos(3x) = 0\).

1. \[ \cos(3x) = \cos(2x+x) = \cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x) \] \[ = (2\cos^2(x)-1)\cos(x) - 2\sin(x)\cos(x)\cdot\sin(x) = 2\cos^3(x) - \cos(x) - 2\cos(x)\sin^2(x) \] En remplaçant \(\sin^2(x) = 1-\cos^2(x)\) : \[ = 2\cos^3(x) - \cos(x) - 2\cos(x)(1-\cos^2(x)) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x) \] Donc \(\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)\).

2. \(\cos(3x) = 0 \Leftrightarrow 4t^3 - 3t = 0\) avec \(t = \cos(x)\). On factorise : \(t(4t^2-3) = 0\), donc \(t = 0\) ou \(t^2 = \dfrac{3}{4}\), soit \(t = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). \[ \cos(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}+k\pi \quad;\quad \cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad;\quad \cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{5\pi}{6}+2k\pi \]

📌 Fiche de synthèse

Définition et propriétés de base

  • Définies sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \([-1;1]\).
  • \(\cos\) est paire, \(\sin\) est impaire, toutes deux \(2\pi\)-périodiques.
  • Identité fondamentale : \(\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\).

Valeurs usuelles à retenir

\(x\) \(0\) \(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\frac{\pi}{2}\) \(\pi\)
\(\cos(x)\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(0\) \(-1\)
\(\sin(x)\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(1\) \(0\)

Dérivées et primitives

Fonction Dérivée Primitive
\(\cos(x)\) \(-\sin(x)\) \(\sin(x)+C\)
\(\sin(x)\) \(\cos(x)\) \(-\cos(x)+C\)
\(\cos(u(x))\) \(-u'(x)\sin(u(x))\) —
\(\sin(u(x))\) \(u'(x)\cos(u(x))\) —
\(\cos(ax+b)\) \(-a\sin(ax+b)\) \(\dfrac{1}{a}\sin(ax+b)+C\)
\(\sin(ax+b)\) \(a\cos(ax+b)\) \(-\dfrac{1}{a}\cos(ax+b)+C\)

Formules clés

  • Angle double : \(\cos(2x) = 2\cos^2(x)-1 = 1-2\sin^2(x)\) et \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\).
  • Linéarisation : \(\cos^2(x) = \dfrac{1+\cos(2x)}{2}\), \quad \(\sin^2(x) = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}\).
  • Équations : \(\cos(x)=\cos(a) \Leftrightarrow x = \pm a + 2k\pi\) ; \(\sin(x)=\sin(a) \Leftrightarrow x = a + 2k\pi\) ou \(x = \pi-a+2k\pi\).
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