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Correction - Exercice 48
Synthèse 3 · Niveau 2 - Consolidation
Enonce
Soit la suite \((u_n)\) définie par :
\[
u_0=1,\qquad u_{n+1}=2u_n+1.
\]
- Calculer \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\).
- Montrer que la suite \((u_n+1)\) est géométrique.
- Donner l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).
- Déterminer la limite de \((u_n)\).
Correction
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- \(u_1=3\), \(u_2=7\), \(u_3=15\).
- Posons \(v_n=u_n+1\). Alors \(v_{n+1}=u_{n+1}+1=2u_n+2=2(u_n+1)=2v_n\). Donc \((v_n)\) est géométrique de raison \(2\).
- \(v_0=u_0+1=2\), donc \(v_n=2\times2^n=2^{n+1}\). Ainsi \(u_n=2^{n+1}-1\).
- Comme \(2^{n+1}\to+\infty\), on a \(u_n\to+\infty\).