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Correction - Exercice 37
Probabilités · Niveau 2 - Consolidation
Enonce
Une maladie touche 2\,\% d'une population. Un test est positif dans 95\,\% des cas si la personne est malade, et positif dans 4\,\% des cas si elle n'est pas malade.
- Construire un arbre pondéré.
- Calculer la probabilité d'avoir un test positif.
- Calculer la probabilité d'être malade sachant que le test est positif.
Correction
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Notons \(M\) : « malade » et \(T\) : « test positif ».
\[ P(M)=0{,}02,\quad P(\overline M)=0{,}98,\quad P_M(T)=0{,}95,\quad P_{\overline M}(T)=0{,}04. \]- L'arbre comporte deux premières branches \(M\) et \(\overline M\), puis \(T\) ou \(\overline T\) depuis chacune.
- \(P(T)=0{,}02\times0{,}95+0{,}98\times0{,}04=0{,}0582\).
- \(P_T(M)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}=\frac{0{,}019}{0{,}0582}\approx0{,}326\). La probabilité est donc environ \(32{,}6\,\%\).