Chapitre 2 — Limites de suite
Exercices courts, interactifs et corrigeables pour travailler les gestes essentiels du chapitre.
Exercice 1 — Quotient de polynômes
Déterminer \(\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{3n^2+2n-1}{2n^2+5}\).
Correction type
Énoncé travaillé : Déterminer \(\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{3n^2+2n-1}{2n^2+5}\).
- Repérer le terme dominant ou transformer l’expression pour lever l’indétermination.
- Utiliser les croissances comparées, les opérations sur les limites, l’encadrement ou le théorème des gendarmes.
- Donner la limite avec une justification courte, pas seulement le résultat.
Pour la variante : Variante : déterminer \(\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{5n^3-n}{2n^3+7}\).
Erreurs fréquentes :
- Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
- Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
- Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.
Exercice 2 — Forme indéterminée
Étudier la limite de \(u_n=\sqrt{n^2+3n}-n\).
Correction type
Énoncé travaillé : Étudier la limite de \(u_n=\sqrt{n^2+3n}-n\).
- Repérer le terme dominant ou transformer l’expression pour lever l’indétermination.
- Utiliser les croissances comparées, les opérations sur les limites, l’encadrement ou le théorème des gendarmes.
- Donner la limite avec une justification courte, pas seulement le résultat.
Pour la variante : Variante : étudier \(\sqrt{4n^2+n}-2n\).
Erreurs fréquentes :
- Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
- Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
- Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.
Exercice 3 — Suite géométrique
Déterminer la limite de \(u_n=7\left(\frac34\right)^n\).
Correction type
Énoncé travaillé : Déterminer la limite de \(u_n=7\left(\frac34\right)^n\).
- Repérer le terme dominant ou transformer l’expression pour lever l’indétermination.
- Utiliser les croissances comparées, les opérations sur les limites, l’encadrement ou le théorème des gendarmes.
- Donner la limite avec une justification courte, pas seulement le résultat.
Pour la variante : Variante : \(v_n=-5\left(\frac25\right)^n\).
Erreurs fréquentes :
- Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
- Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
- Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.
Exercice 4 — Comparaison
On sait que \(0\leq u_n\leq \frac{3}{n+1}\). Déterminer la limite de \(u_n\).
Correction type
Énoncé travaillé : On sait que \(0\leq u_n\leq \frac{3}{n+1}\). Déterminer la limite de \(u_n\).
- Repérer le terme dominant ou transformer l’expression pour lever l’indétermination.
- Utiliser les croissances comparées, les opérations sur les limites, l’encadrement ou le théorème des gendarmes.
- Donner la limite avec une justification courte, pas seulement le résultat.
Pour la variante : Variante : \(-\frac2n\leq v_n\leq \frac2n\).
Erreurs fréquentes :
- Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
- Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
- Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.
Exercice 5 — Croissances comparées
Déterminer \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n^3}{2^n}\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n^5}{3^n}\).
Correction type
Énoncé travaillé : Déterminer \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n^3}{2^n}\) et \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n^5}{3^n}\).
- Repérer le terme dominant ou transformer l’expression pour lever l’indétermination.
- Utiliser les croissances comparées, les opérations sur les limites, l’encadrement ou le théorème des gendarmes.
- Donner la limite avec une justification courte, pas seulement le résultat.
Pour la variante : Variante : \(\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n^{10}}{1{,}01^n}\). Justifier.
Erreurs fréquentes :
- Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
- Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
- Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.
Exercice 6 — Théorème des gendarmes
Soit \(u_n=\dfrac{2+\sin(n)}{n}\). Encadrer \(u_n\) et en déduire sa limite.
Correction type
Énoncé travaillé : Soit \(u_n=\dfrac{2+\sin(n)}{n}\). Encadrer \(u_n\) et en déduire sa limite.
- Repérer le terme dominant ou transformer l’expression pour lever l’indétermination.
- Utiliser les croissances comparées, les opérations sur les limites, l’encadrement ou le théorème des gendarmes.
- Donner la limite avec une justification courte, pas seulement le résultat.
Pour la variante : Variante : \(v_n=\dfrac{n+\cos(n^2)}{n^2+1}\). Même méthode.
Erreurs fréquentes :
- Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
- Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
- Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.
Exercice 7 — Suite récurrente et limite
Soit \(u_0=10\) et \(u_{n+1}=0{,}6u_n+8\). Exprimer \(u_n\) puis déterminer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\).
Correction type
Énoncé travaillé : Soit \(u_0=10\) et \(u_{n+1}=0{,}6u_n+8\). Exprimer \(u_n\) puis déterminer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\).
- Repérer le terme dominant ou transformer l’expression pour lever l’indétermination.
- Utiliser les croissances comparées, les opérations sur les limites, l’encadrement ou le théorème des gendarmes.
- Donner la limite avec une justification courte, pas seulement le résultat.
Pour la variante : Variante : \(u_0=2\), \(u_{n+1}=0{,}5u_n+4\). Même travail.
Erreurs fréquentes :
- Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
- Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
- Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.
Exercice 8 — Seuil par logarithme
Un capital de \(1\,500\) € est placé à \(3{,}2\,\%\) par an. À partir de quelle année dépasse-t-il \(2\,000\) € ?
Correction type
Énoncé travaillé : Un capital de \(1\,500\) € est placé à \(3{,}2\,\%\) par an. À partir de quelle année dépasse-t-il \(2\,000\) € ?
- Repérer le terme dominant ou transformer l’expression pour lever l’indétermination.
- Utiliser les croissances comparées, les opérations sur les limites, l’encadrement ou le théorème des gendarmes.
- Donner la limite avec une justification courte, pas seulement le résultat.
Pour la variante : Variante : \(2\,000\) €, taux \(2{,}5\,\%\), seuil \(3\,000\) €.
Erreurs fréquentes :
- Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
- Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
- Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.
Exercice 9 — Reconnaître le terme dominant
Sans calcul long, identifier le terme dominant de \(u_n=\frac{4n^3-2n}{7n^3+n^2+1}\), puis conjecturer sa limite.
Correction type
Énoncé travaillé : Sans calcul long, identifier le terme dominant de \(u_n=\frac{4n^3-2n}{7n^3+n^2+1}\), puis conjecturer sa limite.
- Repérer le terme dominant ou transformer l’expression pour lever l’indétermination.
- Utiliser les croissances comparées, les opérations sur les limites, l’encadrement ou le théorème des gendarmes.
- Donner la limite avec une justification courte, pas seulement le résultat.
Pour la variante : Variante : \(v_n=\frac{-2n^2+5}{3n^2-n}\).
Erreurs fréquentes :
- Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
- Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
- Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.