Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(u_0=5\), \(u_{n+1}=u_n+4\) : exprimer \(u_n\), calculer \(u_{15}\). \(v_1=3\), \(v_{n+1}=2v_n\) : exprimer \(v_n\), calculer \(v_8\). Suite arithmétique : \(u_3=11\), \(u_7=27\). Trouver la raison et \(u_0\). Suite géométrique : \(v_2=12\), \(v_5=96\). Trouver la raison et \(v_0\).

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_0=2\), \(u_{n+1}=u_n+7\). Exprimer \(u_n\), calculer \(u_{20}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Calculer \(S=\displaystyle\sum_{k=0}^{30}(3k-2)\). Calculer \(T=\displaystyle\sum_{k=1}^{10}2^k\). Calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(1/2)^k\).

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{20}(5k+1)\) et \(\displaystyle\sum_{k=0}^{8}3^k\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(w_0=1\), \(w_{n+1}=3w_n-8\). 1. Trouver \(a\) tel que \(r_n=w_n-a\) soit géométrique. 2. Exprimer \(w_n\). 3. Limite. 4. Rang à partir duquel \(w_n < -1000\).

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(w_0=2\), \(w_{n+1}=2w_n-6\). Même démarche.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Capital \(3\,000\)€ à \(3\,\%\), retrait \(200\)€/an après capitalisation. 1. Exprimer \(C_{n+1}\). 2. Trouver \(L\) tel que \((C_n-L)\) soit géométrique. 3. Exprimer \(C_n\). 4. Le capital s’annule-t-il ?

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : capital \(5\,000\)€, taux \(2\,\%\), retrait \(150\)€. Même étude.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(u_0=0\), \(u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+3\). 1. Trouver \(\ell\) tel que \((u_n-\ell)\) soit géométrique. 2. Exprimer \(u_n\). 3. Calculer \(\lim u_n\). 4. Programme Python : 20 premiers termes.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_0=1\), \(u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+4\). Même étude.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Étudier le sens de variation en calculant \(u_{n+1}-u_n\) : 1. \(u_n=2n^2-5n+1\) 2. \(u_n=n^3-6n^2\) 3. \(u_n=\dfrac{n}{n+1}\) 4. \(u_n=(-1)^n\cdot n\)

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_n=3n^2-12n+5\) et \(u_n=\dfrac{n+1}{n+3}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Étudier via \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) : 1. \(u_n=\dfrac{3^n}{n!}\) 2. \(u_n=\dfrac{n^2}{2^n}\) 3. \(u_n=\left(\dfrac{n+1}{n+2}\right)^n\)

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_n=\dfrac{n^3}{3^n}\). Conclure sur le sens de variation.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Poser \(u_n=f(n)\), étudier \(f\) puis conclure : 1. \(u_n=n\cdot e^{-n}\) 2. \(u_n=\dfrac{\ln(n+1)}{n+1}\) 3. \(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_n=\dfrac{\ln n}{n^2}\) (\(n\geq 1\)).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(f(x)=\dfrac{3x+2}{x+2}\), \(u_0=0\), \(u_{n+1}=f(u_n)\). 1. Calculer \(u_1,u_2,u_3\). 2. Montrer \(0\leq u_n\leq 2\) par récurrence. 3. Montrer la croissance.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x+1}\), \(u_0=0\). Même étude.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(\alpha>0\), \(u_n=\alpha^n-n\). 1. Signe de \(u_{n+1}-u_n\) selon \(\alpha\). 2. Pour \(\alpha=1{,}1\), rang à partir duquel croissante ? 3. Pour \(\alpha=0{,}9\), éventuellement monotone ?

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_n=\alpha^n-2n\). Même analyse.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(f(x)=\dfrac{x+5}{2}\), \(u_0=10\), \(u_{n+1}=f(u_n)\). 1. Montrer que \([5\,;\,10]\) est stable par \(f\). 2. Montrer \(u_n\in[5\,;\,10]\) par récurrence. 3. Suite décroissante ? Limite.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(f(x)=\dfrac{x+3}{2}\), \(u_0=6\). Intervalle stable et limite.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. Points fixes de \(g(x)=x^2-x+1\). 2. \(u_0=0{,}5\), \(u_{n+1}=g(u_n)\). 5 premiers termes. 3. Points fixes de \(h(x)=\sqrt{3x-2}\). 4. Suite \(v_{n+1}=h(v_n)\), \(v_0=2\). Convergence et limite.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : points fixes de \(f(x)=\sqrt{2x+3}\). Convergence de la suite associée.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(f(x)=\dfrac{2x^2}{x^2+1}\), \(u_0=2\), \(u_{n+1}=f(u_n)\). 1. Tableau de variations de \(f\) sur \([0\,;+\infty[\). 2. \(f([0\,;2])\subset[0\,;2]\). 3. \(u_n\in[0\,;2]\) par récurrence. 4. Monotonie, convergence, limite.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}\), \(u_0=1\). Même démarche.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(a>0\), \(u_0=a\), \(u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+\frac{a}{u_n})\). 1. \(u_n>0\). 2. \(u_n\geq\sqrt{a}\) pour \(n\geq 1\). 3. Décroissante pour \(n\geq 1\). 4. Limite. 5. Avec \(a=2\), calculer \(u_3\).

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(a=3\), \(u_0=2\). Approximation de \(\sqrt{3}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(u_0=0\), \(u_1=1\), \(u_{n+2}=u_{n+1}+u_n\). 1. Calculer \(u_2,\ldots,u_8\). 2. Vérifier la formule de Binet pour \(n=2\). 3. Calculer \(u_{n+1}/u_n\) pour \(n=1,\ldots,7\). 4. Programme Python : 20 premiers termes.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : suite de Lucas (\(u_0=2\), \(u_1=1\)). Calculer 10 termes.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Démontrer pour tout \(n\geq 1\) : 1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) 2. \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) 3. \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\cdot 2^k=(n-1)\cdot 2^{n+1}+2\)

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : démontrer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Démontrer : 1. \(3^{2n}-1\) divisible par \(8\). 2. \(n^3+2n\) divisible par \(3\). 3. Pour \(n\geq 1\), \(4^n>n^2+n\).

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : montrer que \(7^n-1\) est divisible par \(6\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. \(u_0=2\), \(u_{n+1}=3u_n+2\). Conjecturer et démontrer. 2. \(v_0=1\), \(v_{n+1}=v_n+2n+1\). Conjecturer et démontrer. 3. \(w_0=1\), \(w_{n+1}=(n+2)w_n\). Conjecturer en termes de factorielle.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_0=1\), \(u_{n+1}=2u_n+1\). Démontrer \(u_n=2^{n+1}-1\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(u_0=2\), \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+6}\). 1. \(u_n\geq 0\) par récurrence. 2. \(u_n\leq 3\) par récurrence. 3. Convergence et limite.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_0=1\), \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\). Montrer \(u_n\in[0\,;2]\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(a_0=1\), \(b_0=0\), \(a_{n+1}=a_n+2b_n\), \(b_{n+1}=a_n+b_n\). 1. Calculer \(a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3\). 2. Montrer \(a_n^2-2b_n^2=1\). 3. \(a_n/b_n\) approche \(\sqrt{2}\).

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : montrer \(a_n+b_n\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^n\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Calculer : 1. \(\lim\dfrac{n^3}{e^n}\) 2. \(\lim n\ln(1+1/n)\) 3. \(\lim\sqrt[n]{n}\) 4. \(\lim(1+1/n)^n\) 5. \(\lim\dfrac{\ln n}{\sqrt{n}}\) 6. \(\lim n\sin(1/n)\)

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(\lim\dfrac{n^5}{2^n}\), \(\lim n(e^{1/n}-1)\), \(\lim\dfrac{(\ln n)^2}{n}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. \(\lim(\sqrt{n^2+n}-n)\) 2. \(\lim(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\sqrt{n}\) 3. \(\lim\dfrac{2^n+3^n}{3^n+5^n}\) 4. \(\lim\dfrac{1+2+\cdots+n}{n^2}\)

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(\lim(\sqrt{n^2+3n}-n)\) et \(\lim\dfrac{4^n+2^n}{4^n+3^n}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. \(u_n=\dfrac{\sin n}{n}\) 2. \(u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}\) 3. \(u_n=\dfrac{n\cos n}{n^2+1}\) 4. \(u_n=\dfrac{E(\sqrt{n})}{\sqrt{n}}\)

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_n=\dfrac{2+\cos n}{n}\) et \(u_n=\dfrac{(-1)^n n}{n^2+1}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Montrer monotonie et bornitude, calculer la limite : 1. \(u_0=3\), \(u_{n+1}=u_n/2+1\) 2. \(v_0=0\), \(v_{n+1}=(v_n^2+2)/3\) 3. \(w_0=4\), \(w_{n+1}=(2w_n+8)/(w_n+3)\)

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_0=5\), \(u_{n+1}=(u_n+3)/2\). Convergence vers \(3\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. \(0<u_n\leq 1/n\) : que peut-on dire ? 2. Suite croissante majorée : convergente. 3. \(u_{n+1}=u_n^2\), \(0<u_0<1\) : montrer \(u_n\to 0\). 4. Même question avec \(u_0>1\).

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_{n+1}=\sqrt{u_n}\), \(u_0>1\). Convergence vers \(1\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : 1. \(2^n>10^6\) : premier rang \(n\). 2. \(1000\times 0{,}95^n<10\) : premier rang. 3. \(n^2>10^4\) : premier rang. 4. \(5\times 1{,}07^n>500\) : premier rang (\(\ln 1{,}07\approx 0{,}0677\)).

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(3\times 1{,}05^n>100\). Trouver le rang par logarithme.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Compléter le programme Python pour trouver le rang \(n\) tel que \(3\times 1{,}05^n>100\) : u = 3; n = 0 while ...: u = ...; n += 1 print(n)

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : adapter pour \(1000\times 0{,}9^n<50\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(u_0=10\), \(u_{n+1}=0{,}8u_n+4\). 1. Calculer la limite \(\ell\). 2. Programme Python : premier rang \(n\) tel que \(|u_n-\ell|<0{,}001\). 3. Afficher tous les termes jusqu’à ce rang. 4. Comparer à la formule explicite.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_0=20\), \(u_{n+1}=0{,}7u_n+6\). Précision \(10^{-4}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Simulation de lancers de deux dés. \(S_n\) = proportion de sommes égales à \(7\). 1. Calculer \(p=P(\text{somme}=7)\). 2. Compléter le programme Python. 3. Afficher la fréquence toutes les 1000 itérations.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : simuler pour la somme égale à \(8\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Écrire seuil(u0, f, S) Python retournant le premier rang \(n\) tel que \(u_n>S\). 1. Tester : \(u_0=1\), \(f(x)=x+1{,}5\), \(S=20\). 2. Tester : \(u_0=0{,}001\), \(f(x)=2x\), \(S=1\). 3. Ajouter max_iter pour éviter les boucles infinies.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : modifier pour retourner aussi la valeur \(u_{n_0}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : (5 pts) Entreprise : CA \(500\,000\)€ en 2020, hausse \(8\,\%\)/an. 1. Montrer \((C_n)\) géométrique. Exprimer \(C_n\). 2. Calculer \(C_5\). 3. Rang où \(C_n>1\,000\,000\)€. 4. Calculer \(\sum_{k=0}^{10}C_k\). 5. Programme Python.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : CA initial \(200\,000\)€, hausse \(5\,\%\)/an. Rang pour dépasser \(400\,000\)€.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : (6 pts) \(f(x)=\dfrac{4x}{x+3}\), \(u_0=6\), \(u_{n+1}=f(u_n)\). 1. Variations de \(f\). 2. Points fixes. 3. \(u_n\in[0\,;6]\). 4. Décroissance. 5. Limite. 6. Programme Python.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(f(x)=\dfrac{3x}{x+2}\), \(u_0=4\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : (6 pts) \(u_0=1\), \(u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+2}\). 1. Calculer \(u_1,u_2,u_3\). 2. \(u_n>0\). 3. \(v_n=u_n-\sqrt{3}\). 4. Monotonie. 5. Convergence. 6. Limite.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_0=2\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n+4}{u_n+1}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : (7 pts) Poissons : \(P_0=20\,000\), \(P_{n+1}=1{,}2P_n-P_n^2/100-3\). 1. Calculer \(P_1,P_2\). 2. Interpréter. 3. Équilibres. 4. Programme Python. 5. Convergence. 6. Si pêche passe à \(10\).

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(P_0=15\,000\). Observer le comportement.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : (5 pts) \(u_0=1\), \(u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\). 1. Calculer \(u_1,u_2,u_3\). 2. Décomposer \(\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\). 3. Exprimer \(u_n\) par somme télescopique. 4. Limite.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{(n+1)(n+3)}\). Décomposer et sommer.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : (6 pts) \(u_1=2\), \(u_{n+1}=\dfrac{3u_n^2}{2(u_n+1)}\). 1. \(u_2\), \(u_3\). 2. Si \(u_n>3\), \(u_{n+1}>3\). 3. Si \(u_n<3\), \(u_{n+1}<3\). 4. \(u_n<3\) pour tout \(n\). 5. \(v_n=1/u_n-1/3\) géométrique. 6. \(u_n\) et limite.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_1=1\), \(u_{n+1}=\dfrac{2u_n^2}{u_n+1}\). Point fixe et convergence.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(u_0>0\), \(u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_n+1/u_n)\). 1. \(u_n\geq 1\) pour \(n\geq 1\). 2. Décroissante pour \(n\geq 1\). 3. Limite. Que calcule cet algorithme ?

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_0=3\). Calculer \(u_3\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(u_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}\). 1. Calculer \(u_1,u_2,u_3\). 2. Montrer \(u_n=1-\dfrac{1}{n+1}\). 3. Limite. 4. Arithmétique ? géométrique ?

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(v_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+2)}\). Décomposer et calculer.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(u_0=N\), \(u_{n+1}=u_n/2\) si pair, \(3u_n+1\) si impair. 1. Premiers termes pour \(N=6\). 2. Programme Python jusqu’à 1 et comptage des pas. 3. Trouver parmi \(N=1,\ldots,100\) la valeur avec le plus de pas. 4. Conjecture de Collatz.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : pour \(N=27\), combien de pas ?

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : (10 pts) Prêt \(200\,000\)€, taux mensuel \(0{,}35\,\%\), mensualité \(m\). A : \(R_{n+1}=1{,}0035R_n-m\). Trouver \(L\). B : Exprimer \(R_n\). Pour 240 mois, calculer \(m\). C : Coût total, monotonie, part capital vs intérêts. D : Programme Python de simulation.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : taux \(0{,}40\,\%\). Comparer mensualité et coût total.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(u_0=1\), \(v_0=3\), \(u_{n+1}=2u_n+v_n\), \(v_{n+1}=u_n+2v_n\). 1. Calculer \(u_1,v_1,u_2,v_2\). 2. \(s_n=u_n+v_n\) et \(d_n=u_n-v_n\) géométriques. 3. Exprimer \(u_n\), \(v_n\). Limites.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_0=2\), \(v_0=1\). Même système.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(u_0=2\), \(v_0=0\), \(u_{n+1}=3u_n-v_n\), \(v_{n+1}=u_n+v_n\). 1. Premiers termes. 2. Trouver \(\alpha\) tel que \(w_n=u_n+\alpha v_n\) soit géométrique (\(\alpha^2-2\alpha-3=0\)). 3. Exprimer \(u_n\), \(v_n\).

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_{n+1}=4u_n-v_n\), \(v_{n+1}=u_n+2v_n\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(L_{n+1}=1{,}2L_n-0{,}4R_n\), \(R_{n+1}=0{,}1L_n+0{,}8R_n\), \(L_0=10\), \(R_0=2\). 1. Calculer \(L_1,R_1,L_2,R_2\). 2. \(P_n=L_n+R_n\) et \(Q_n=L_n-2R_n\) géométriques. 3. Exprimer \(L_n\), \(R_n\). 4. Long terme. 5. Python.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : taux modifiés. Observer le comportement.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{1}{2}v_n+1\), \(v_{n+1}=\frac{1}{4}u_n+\frac{3}{4}v_n+2\), \(u_0=5\), \(v_0=1\). 1. Trouver l’équilibre \((\ell,m)\). 2. Système homogène pour \((a_n,b_n)\). 3. Diagonaliser. 4. Limites.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_{n+1}=\frac{3}{4}u_n+\frac{1}{4}v_n\), \(v_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{1}{2}v_n\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(u_0=1\), \(v_0=2\), \(u_{n+1}=3u_n\), \(v_{n+1}=2u_n+v_n\). 1. Exprimer \(u_n\). 2. Montrer \(v_{n+1}-v_n=2\times 3^n\). 3. Exprimer \(v_n\) par sommation. 4. Vérifier pour \(n=3\).

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_{n+1}=2u_n\), \(v_{n+1}=3u_n+v_n\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(u_0=0\), \(u_1=1\), \(u_{n+2}=3u_{n+1}-2u_n\). 1. Système \(2\times 2\) avec \(v_n=u_{n+1}\). 2. Équation caractéristique \(r^2=3r-2\). 3. Combinaisons géométriques. 4. Exprimer \(u_n\). 5. \(\lim u_n/2^n\).

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n\), \(u_0=0\), \(u_1=1\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : (7 pts) Ville+banlieue : \(500\,000\) habitants, \(V_0=300\,000\). \(5\,\%\) citadins partent, \(3\,\%\) banlieusards arrivent. A : Système, invariant \(V_n+B_n=500\,000\). B : \(V_{n+1}=0{,}92V_n+15\,000\). Exprimer \(V_n\). Limites. C : Interprétation. Python.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : taux \(8\,\%\) et \(4\,\%\). Nouvel équilibre.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : (8 pts) \(u_0=1\), \(v_0=0\), \(u_{n+1}=\frac{2}{3}u_n+\frac{1}{3}v_n\), \(v_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+\frac{2}{3}v_n\). A : \(u_n+v_n=1\). Relation sur \(u_n\) seul. B : \((u_n-1/2)\) géométrique. Exprimer \(u_n\), \(v_n\). Limites. C : Probabilités de transition. Distribution limite. Python.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : probabilités \(3/4\) et \(1/4\). Distribution limite.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(u_0=-3\), \(u_{n+1}=\dfrac{9}{6-u_n}\). Poser \(v_n=\dfrac{1}{u_n-3}\). 1. \((v_n)\) arithmétique de raison \(-1/3\). 2. Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\). 3. Limite. 4. Lien avec les points fixes de \(f(x)=9/(6-x)\).

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_0=2\), \(u_{n+1}=\dfrac{4}{5-u_n}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(u_0=1\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+8}\). Poser \(v_n=\dfrac{1}{u_n}\). 1. \((v_n)\) arithmétique. Raison et premier terme. 2. Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\). 3. Limite. 4. Python : 20 premiers termes.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_0=2\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2u_n+1}\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\). 1. Opérations directes possibles ? 2. Montrer \(u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\). 3. Encadrement et limite. 4. Limite de \(v_n=nu_n^2\).

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_n=\sqrt{n+2}-\sqrt{n}\). Même méthode.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(u_0=0{,}5\), \(u_{n+1}=u_n(1-u_n)\). 1. \(0<u_n<1\) par récurrence. 2. Décroissance stricte. 3. Limite. 4. Comparer \(u_{n+1}\) et \(u_n/2\). Montrer \(u_n<(1/2)^n\).

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_0=0{,}3\). Calculer 5 termes et observer.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Carré côté \(3\) cm, côté divisé par \(2\) à chaque étape. Aire \(A_n\). 1. Calculer \(A_1\), \(A_2\). 2. \((A_n)\) géométrique, raison, limite. 3. Exprimer \(S_n=\sum A_k\). 4. \(\lim S_n\). 5. Pour quels \(r>1\) la somme converge-t-elle ?

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : triangle équilatéral côté \(4\) cm, côté divisé par \(2\). Somme des aires.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(S_n=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^k}{2k+1}\to\dfrac{\pi}{4}\). 1. Calculer \(S_0,S_1,S_2,S_3\). 2. Python pour \(S_{100}\) et approximation de \(\pi\). 3. Plus petit \(N\) tel que \(|4S_N-\pi|<0{,}001\). 4. Combien de termes pour 6 décimales ?

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : série alternée pour \(\ln 2 = 1-1/2+1/3-\cdots\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Electic (\(55\,\%\)) et Energo : Electic perd \(5\,\%\), récupère \(15\,\%\). 1. Montrer \(a_n+b_n=1\). 2. Montrer \(a_{n+1}=0{,}8a_n+0{,}15\). 3. Résoudre. Limite. 4. \(a_n\leq a_{n+1}\leq 0{,}75\) par récurrence. 5. Python : parts en 2030.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : Electic perd \(8\,\%\), récupère \(20\,\%\). Équilibre.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : (6 pts) \(10\,\%\) passent au numérique, \(6\,\%\) repassent au papier. \(a_0=1\), \(b_0=0\). A : \(a_{n+1}=0{,}84a_n+0{,}06\). B : \(c_n=a_n-0{,}375\) géométrique. Exprimer \(a_n\), \(b_n\). Limites. C : Année où numériques dépassent papier.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(12\,\%\) et \(4\,\%\). Équilibre et date de dépassement.

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : \(u_n=1+1/1!+\cdots+1/n!\), \(v_n=u_n+1/(n\cdot n!)\). 1. \((u_n)\) croissante. 2. \((v_n)\) décroissante. 3. \(v_n-u_n\to 0\). 4. Même limite \(e\). 5. Pour \(n=10\), encadrement de \(e\) à \(10^{-6}\) près.

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : suites adjacentes encadrant \(\ln 2\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : (8 pts) \(u_0=1\), \(u_1=2\), \(u_{n+2}=4{,}5u_{n+1}-2u_n\). A : Calculer \(u_2\), \(u_3\). Équation \(r^2=4{,}5r-2\) : racines \(r_1<r_2\). B : \(u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n\). Déterminer \(\lambda\), \(\mu\). Limite de \(u_n/r_2^n\). C : Racine double : \(w_{n+2}=10w_{n+1}-25w_n\). Forme \((\lambda+\mu n)r_0^n\).

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : \(u_{n+2}=5u_{n+1}-6u_n\), \(u_0=1\), \(u_1=1\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.

Niveau attendu : Correction générée

Énoncé travaillé : Déterminer à partir de quel rang initialiser une récurrence pour démontrer \(P(n): n^2\geq 2n+1\).

1. Identifier la définition de la suite : formule explicite, relation de récurrence, somme ou seuil.
2. Écrire les premiers termes si nécessaire, puis choisir l’outil adapté : différence \(u_{n+1}-u_n\), quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), récurrence, ou formule de somme.
3. Conclure avec une phrase : nature de la suite, expression obtenue, limite, rang ou propriété démontrée.

Pour la variante : Variante : faire le même travail pour \(P(n): 2^n\geq n^2\).

Erreurs fréquentes :

• Ne pas recopier seulement la formule : expliquer pourquoi elle s’applique ici.
• Ne pas oublier le domaine, l’intervalle ou les conditions de validité.
• Vérifier le signe, les bornes, les unités ou le rang demandé avant de conclure.