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Correction - Exercice 27
Signe d'expressions avec exponentielle · Niveau 2 - Consolidation
Enonce
Étudier le signe des expressions suivantes :
- \(f(x)=e^x-1\)
- \(g(x)=e^x-e^2\)
- \(h(x)=e^{2x}-e^x\)
- \(k(x)=(x+1)e^{-x}\)
- \(m(x)=xe^{-x}\)
- \(n(x)=(x-1)(e^x-1)\)
- \(p(x)=(2-x)e^x\)
- \(q(x)=e^{2x}-2e^x\)
- \(r(x)=(x^2-1)e^x\)
Correction
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- \(e^x-1\) est négatif si \(x<0\), nul si \(x=0\), positif si \(x>0\).
- \(e^x-e^2\) est négatif si \(x<2\), nul si \(x=2\), positif si \(x>2\).
- \(e^{2x}-e^x=e^x(e^x-1)\) a le signe de \(x\).
- \((x+1)e^{-x}\) a le signe de \(x+1\).
- \(xe^{-x}\) a le signe de \(x\).
- \((x-1)(e^x-1)\) est positif sur \(]-\infty;0]\cup[1;+\infty[\) et négatif sur \(]0;1[\).
- \((2-x)e^x\) a le signe de \(2-x\).
- \(e^{2x}-2e^x=e^x(e^x-2)\) s'annule en \(x=\ln 2\) et a le signe de \(x-\ln2\).
- \((x^2-1)e^x\) a le signe de \((x-1)(x+1)\).